Cvičení 21. 09. 2023

na stránce Zápiskoid

← Zpět domů

Úvod do lin. algebry a diskrétní mat. (KMA/ULA) | Přidáno uživatelem prochazkaml 2023-10-03 08:47:02 UTC

Podmínky na zápočet

• testy - aspoň 50 %
• docházka - cvičení 100% navštěvovat (ale do 2 absencí by to toleroval, pokud si dopíšeš ty testy v pořádku)
• když budeš dobrovolně počítat a neposereš to, dostaneš plusy

• na lingebře stojí třeba šifrování (AES)

Násobení matic

• A ∈ ℝ^(m * n)

• vektor - v ∈ ℝ^s
• chápeme vektory jako sloupcové:

            / v₁ \
            | v₂ |
        v = | v₃ |
            | .. |
            \ vₛ /

• teď ta matice (v řádkových vektorech):

        a₁₁ * x₁ + a₁₂ * x₂ + a₁₃ * x₃ = b₁
        a₂₁ * x₁ + a₂₂ * x₂ + a₂₃ * x₃ = b₂
        a₃₁ * x₁ + a₃₂ * x₂ + a₃₃ * x₃ = b₃

• každá ta rovnice představuje typ vazby ne úplně oddělitelnej od těch ostatních (wtf?)
• takovou soustavu rovnic můžeme přepsat:

            / a₁₁ a₁₂ a₁₃ \
        A = | a₂₁ a₂₂ a₂₃ |
            \ a₃₁ a₃₂ a₃₃ /

            / x₁ \
        x = | x₂ |
            \ x₃ /

            / b₁ \
        b = | b₂ |
            \ b₃ /

• maticové násobení chápeme jako skalární součin sloupců a řad matice

        n = 3
        bₖ = sum(l = <1;n>; aₖₗ * xₗ)
        bₖ = sum(l = <1;3>; aₖₗ * xₗ) → výsledek je to, co máš nahoře (ty 3 řádky)

        (A | b)~
         ↑
         rozšířená matice soustavy

• pokud násobíš matice, musí mít stejné rozměry (nemůžeš dělat skalár. součin 2 vektorů různých délek)

Příklad 1

 po řádcích     po sloupcích
/  1  2  3  \   /  4  2  8  \   / 4+20+12    2+24+15    8+8+27   \   / 36  41  43  \
|  4  5  6  | X |  10 12 4  | = | 16+50+24   8+60+30    32+20+54 | = | 90  98  106 |
\  7  8  9  /   \  4  5  9  /   \ 28+80+36   14+96+45   56+32+81 /   \ 144 155 169 /

Příklad 2

                   /  1  0 \
/  2  0  1  1  \   | -1  1 |   /  2+0+3+0 0+0+4+1 \   / 5 5 \
\ -1 -2  0  3  / X |  3  4 | = \ -1+2+0+0 0-2+0+3 / = \ 1 1 /
                   \  0  1 /

Příklad 3 - řešení soustavy rovnic

        4x + 2y + z = 11
        2x + y + 0z = 4
        x + y + z = 6

        co můžem dělat?
        - přičítat/odečítat řádky mezi sebou
        - násobit/dělit jednotlivý řádky
        - prohazovat řádky mezi sebou

        / 4  2  1 | 11 \   / 1  1  1 |  6 \ (3)   / 1  1  1 |  6 \ (1)
        | 2  1  0 |  4 | ~ | 2  1  0 |  4 | (2) ~ | 0 -1 -2 | -8 | (2)-2(1) ~
        \ 1  1  1 |  6 /   \ 4  2  1 | 11 / (1)   \ 0  0  1 |  3 / (3)-2(2)

          / 1  1  1 |  6 \ (1)    / 1  0 -1 | -2 \ (1)-(2)
        ~ | 0  1  2 |  8 | -(2) ~ | 0  1  0 |  2 | (2)-2(3) ~
          \ 0  0  1 |  3 / (3)    \ 0  0  1 |  3 / (3)

          / 1  0  0 |  1 \ (1)+(3)
        ~ | 0  1  0 |  2 | (2)     ← jednotková matice! (I|vect(x)) → vect(x) = vektor řešení
          \ 0  0  1 |  3 / (3)

        → x = 1; y = 2; z = 3

        zkouška: A * vect(x) = b (b = to zadání)

        / 4  2  1 \   / 1 \   / 4+4+3 \   / 11 \
        | 2  1  0 | x | 2 | = | 2+2+0 | = |  4 |
        \ 1  1  1 /   \ 3 /   \ 1+2+3 /   \  6 /

---

Abyste mohli přidávat komentáře, je potřeba se přihlásit.

---

0 komentářů celkem, 0 zobrazeno | Zpět nahoru